Question

已知a≠0，函數，g（x）=﹣ax+1，x∈R．
（I）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若在區間上至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求正實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（I）由求導得，f'（x）=a²x²﹣2ax．
①當a＞0時，由，解得
所以在上遞減．
②當a＜0時，由可得
所以在上遞減．
綜上：當a＞0時，f（x）單調遞減區間為；
當a＜0時，f（x）單調遞減區間為
（Ⅱ）設．
對F（x）求導，得F'（x）=a²x²﹣2ax+a=a²x²+a（1﹣2x），
因為，a＞0，
所以F'（x）=a²x²+a（1﹣2x）＞0，
F（x）在區間上為增函數，則．
依題意，只需F（x）max＞0，即，
即a²+6a﹣8＞0，解得或（舍去）．
所以正實數a的取值范圍是．