Question

已知數列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為實數），且，其中n=1，2，3，…

   （Ⅰ）求證：“若數列{a_n}是等比數列，則數列{b_n}也是等比數列”是真命題；

   （Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

（I）證明見解析

   （II）逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.

解析:

（I）因為是等比數列，

       又…………………………………………2分

      

       ∴是以a為首項，為公比的等比數列.………………………………6分

   （II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數列，則也是等比數列，是假命題.

                           ……………………………………………………………8分

       設的公比為則

       又

       是以1為首項，q為公比的等比數列，

       是以為首項，q為公比的等比數列.……………………10分

       即為1，a，q，aq，q²，aq²，…

       但當q≠a²時，不是等比數列

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

       另解：取a=2，q=1時，

      

       因此是等比數列，而不是等比數列.

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分