Question

14．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重合，過F₂作∠F₁PF₂的角平分線的垂線，垂足為A．若$|{OA}|=\frac{b}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：丨PQ丨=丨PF₂丨，則丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=2a，丨PF₁丨-丨PQ丨=丨QF₁丨=2a，由OA是△F₂F₁Q的中位線，丨QF₁丨=2a=2丨OA丨=b，a=$\frac{b}{2}$，c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)，
延長(zhǎng)F₂A交PF₁于Q，
∵PA是∠F₁PF₂的角平分線，
∴丨PQ丨=丨PF₂丨，
∵P在雙曲線上，則丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=2a，
∴丨PF₁丨-丨PQ丨=丨QF₁丨=2a，
∵O是F₁F₂中點(diǎn)，A是F₂Q中點(diǎn)，
∴OA是△F₂F₁Q的中位線，
∴丨QF₁丨=2a=2丨OA丨=b，
∴a=$\frac{b}{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．