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已知函數f(x)=a-
1|x|

(1)求證:函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(2)若f(x)<0.25x在(1,+∞)上恒成立,求正數a的取值范圍.
分析:(1)利用函數單調性的定義證明即可
(2)f(x)<0.25x在(1,+∞)上恒成立,即為即a-
1
x
x
4
,移向得出a<
1
x
+
x
4
令g(x)=
1
x
+
x
4
,x∈(1,+∞).只需a<g(x)min即可.
解答:解:(1)設0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=(a-
1
x1
)-(a-
1
x2
)=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,0<x1x2
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2
函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(2)f(x)<0.25x在(1,+∞)上恒成立,即a-
1
x
x
4
,移項得出a<
1
x
+
x
4

令g(x)=
1
x
+
x
4
,x∈(1,+∞).只需a<g(x)min即可.
由于g(x)=
1
x
+
x
4
≥2
1
x
×
x
4
=1,當且僅當
1
x
=
x
4
,x=2時取等號.
所以正數a的取值范圍是a<1
點評:本題主要考查函數單調性,基本不等式求最值的基礎知識,考查劃歸與轉化,以及抽象概括、推理論證和運算求解能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
(2)求函數f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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同步練習冊答案
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