【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若存在兩個極值點
，且關于
的方程
恰有三個實數根
，
，
，求證：
.
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求導后按照
、
、
分類討論，求出
、
的解集即可得解；
（2）構造新函數
，求導后可得
即可得
；同理可得
，即可得證.
（1）由題意得
，
令
即
，
，
①當時，
，
，函數
在
上單調遞增；
②當
時，
，
的兩根為
，
，
（i）當
即時，
，
所以當
時，；當
時，；
所以在
上單調遞減，
單調遞增；
（ii）當
即時，
，
所以當
時，；
當
時，；
則在
上單調遞減，在
，單調遞增.
綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞減，單調遞增；當時，在上單調遞減，，單調遞增；
（2）證明：由題意得，
，
，
令，
則
，
由（1）知
，
則
又
，可知對于
均有，
所以
，所以
，
由
可得
，
結合函數在
上單調遞增，可得
即，
令
，
同理可得
，
由
可得當
時，
，
所以
，所以
，
由
可得
，
結合函數在
上單調遞增，可得
即，
所以
即
，得證.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱中
，它的體積是
底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
在底面的射影是D，且D為BC的中點.
(1)求側棱
與底面ABC所成角的大小；
(2)求異面直線
與
所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為F，點
，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB中點為C，設橢圓E在A，B兩點處的切線相交于點P，O為坐標原點．
（1）證明：O、C、P三點共線；
（2）已知
是拋物線
的弦，所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點，
是弦在兩端點處的切線的交點，小明同學猜想：在定直線上．你認為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，數列
中的每一項均在集合
中，且任意兩項不相等，又對于任意的整數
，均有
．例如
時，數列
為
或
．
（1）當
時，試求滿足條件的數列的個數；
（2）當，求所有滿足條件的數列的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了讓居民了解垃圾分類，養成垃圾分類的習慣，讓綠色環保理念深入人心．某市將垃圾分為四類：可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四類由10位同學組成四個宣傳小組，其中可回收物與餐廚垃圾宣傳小組各有2位同學，有害垃圾與其他垃圾宣傳小組各有3位同學．現從這10位同學中選派5人到某小區進行宣傳活動，則每個宣傳小組至少選派1人的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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