Question

函數f（x）=

1

2

x²-2tx+3lnx，g（x）=

x+t

x2+3

，函數f（x）在x=a，x=b處取得極值（0＜a＜b），g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大

1

3

，若方程f（x）=m有3個不同的解，則函數y=em+

15

2

的值域為

（27，e⁴）．

．

Answer 1

分析：由f′（x）=0解得x=t±

t2-3

，從而可得a，b，由g′（x）=0，得x=-t±

t2+3

，根據其與-b，-a的大小關系可判斷g（x）在[-b，-a]上的單調性，從而可求得g（x）的最大值、最小值，根據題意可得關于t的方程，解出t，再根據方程f（x）=m有3個不同的解可得m的范圍，由此可求值域．

解答：解：f′（x）=-x-2t+

3

x

=

x2-2tx+3

x

，
令f′（x）=0解得x=t±

t2-3

，
由題意知a=t-

t2-3

，b=t+

t2-3

，由a＞0知t＞0，
g′（x）=-

x2+2tx-3

(x2+3)2

，令g′（x）=0，得x=-t±

t2+3

，
[-b，-a]=[-t-

t2-3

，-t+

t2-3

]，且-t-

t2+3

＜-t-

t2-3

，-t+

t2+3

＞-t+

t2-3

，
可知g′（x）＞0在[-t-

t2-3

，-t+

t2-3

]上成立，從而g（x）在[-t-

t2-3

，-t+

t2-3

]上遞增，
g(x)max=g(-t+

t2-3

)=

t2-3

2t(t- t2-3 )

，g(x)min=

- t2-3

2t(t+ t2-3 )

，
由題意得，

t2-3

2t(t- t2-3 )

-

- t2-3

2t(t+ t2-3 )

=

1

3

，解得t=2或-2（舍），
f′（x）=

x2-4x+3

x

=

(x-3)(x-1)

x

，
令f′（x）＞0得x＜1或x＞3；令f′（x）＜0得1＜x＜3，
f（x）極小值為f（3）=-

15

2

+3ln3，f（x）極大值為f（1）=-

7

2

，
因為方程f（x）=m有3個不同的解，所以-

15

2

+3ln3＜m＜-

7

2

，
e-

15

2

+3ln3+

15

2

＜em+

15

2

＜e-

7

2

+

15

2

，即27＜em+

15

2

＜e⁴，
所以函數y=em+

15

2

的值域為（27，e⁴）．
故答案為：（27，e⁴）．

點評：本題考查利用導數求函數在區間上的最值，考查轉化思想，運算量大，綜合性強，對能力要求高．