Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+b

2x+1+ a

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性并加以證明；
（3）當t∈[-1，2]時，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）因為f（x）是奇函數，函數的定義域為R，所以f（0）=

-20+b

2 + a

=0，可得b=1，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+ a

，取f（-1）=-f（1）得

-2-1+1

20+ a

=-

-21+1

22+ a

，解之得a=2
因此，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

，滿足f(-x)=

-2-x+1

2-x+1+ 2

=-

-2x+1

2x+1+ 2

=-f（x），符合題意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

=-

1

2

+

2

2x+1

，設x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

2

2x1+1

-（-

1

2

+

2

2x2+1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在實數集上是增函數且函數值恒大于0，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0且2x2+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數
（3）∵f（x）是奇函數，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0?k＜-

1

3

，即實數k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）．