Question

符合下列三個條件之一，某名牌大學(xué)就可錄取：
①獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎（保送錄取，聯(lián)賽一等獎從省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者中考試選拔）；
②自主招生考試通過并且高考分數(shù)達到一本分數(shù)線（只有省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者才具備自主招生考試資格）；
③高考分數(shù)達到該大學(xué)錄取分數(shù)線（該大學(xué)錄取分數(shù)線高于一本分數(shù)線）．
某高中一名高二數(shù)學(xué)尖子生準備報考該大學(xué)，他計劃：若獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎，則保送錄取；若未被保送錄取，則再按條件②、條件③的順序依次參加考試．
已知這名同學(xué)獲省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝獎的概率是0.9，通過聯(lián)賽一等獎選拔考試的概率是0.5，通過自主招生考試的概率是0.8，高考分數(shù)達到一本分數(shù)線的概率是0.6，高考分數(shù)達到該大學(xué)錄取分數(shù)線的概率是0.3．
（I）求這名同學(xué)參加考試次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（II）求這名同學(xué)被該大學(xué)錄取的概率．

Answer 1

解：（I）由題意知這名同學(xué)參加考試次數(shù)ξ為2、4，
根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到
P（ξ=2）=（1-0.9）+0.9×0.5=0.55
P（ξ=4）=0.9×（1-0.5）=0.45
∴變量的分布列是

∴Eξ=2×0.55+4×0.45=2.9
（II）設(shè)該同學(xué)參加2、4次考試被錄取的概率分別是P₁、P₂，
則P₁=0.1×0.3+0.9×0.5=0.48
P₂=0.9×（1-0.5）×0.8×0.6+0.9×（1-0.5）×（1-0.8）×0.3=0.243
∴該同學(xué)被該校錄取的概率P₁+P₂=0.723．
分析：（1）本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，由題意知這名同學(xué)參加考試次數(shù)ξ為2、4，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到概率，寫出分布列，算出期望．
（2）根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率，做出該生第二次考試被錄取的概率和第四次考試被錄取的概率，得到結(jié)果．
點評：本題關(guān)鍵是理解題意，題干比較長，給我們解題制造了困難，但本題的題意和同學(xué)們又很接近，這是同學(xué)們比較感興趣的問題，考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件．