Question

一艘輪船在以每小時16公里速度沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西80km處，受影響的初始范圍是以臺風中心為圓心半徑長為7km的圓形區域，并且圓形區域的半徑正以以每小時10公里的速度擴大，且圓形區域最大活動半徑為47公里．已知港口位于臺風中心正北60km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？假設輪船在航行過程中，不會受到臺風的影響，則輪船離此時圓形區域邊緣最近距離是多少？

Answer 1

分析：本題利用解析法求解．我們以臺風中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，將受臺風影響的圓形區域表示成所對應的圓⊙的內部，那么是否會受到臺風的影響的問題轉化為圓⊙與直線l有公共點問題解決即可；另外，欲求輪船離此時圓形區域邊緣最近距離，轉化為輪船離圓形區域邊緣的距離即可．

解答：解：我們以臺風中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系（1分）
設臺風活動半徑r=7+10t（0≤t≤4），其中t為輪船移動時間．單位：小時，這樣，受臺風影響的圓形區域所對應的圓⊙的方程為x²+y²=（7+10t）²①（3分）
輪船航線所在直線l的方程為

x

80

+

y

60

=1，即3x+4y-240=0②（5分）
（i）如果圓⊙與直線l有公共點，則輪船受影響，需要改變航向；如果圓⊙與直線l無公共點，
則輪船不受影響，無需改變航向．
由于圓心O（0，0）到直線l的距離d=|OH|

|3×0+4×0-240|

32+42

=48，（7分）
由題意知圓形區域最大半徑為47公里”∵48＞47，所以直線l與同心圓形區域始終無公共點．
這說明輪船將不受臺風影響，不需要改變航向．（8分）
（ii）如圖，設輪船航行起始點為A，輪船離原點最近點為H
從A到H移動距離|AH|=

|OA|2-|AH|2

=

802-482

=64（公里）（9分）
輪船移動時間t=

64

16

=4（小時），（10分）
此時受臺風影響的圓形區域半徑r=7+10×4=47（公里），恰好為圓形區域最大活動半徑（12分）
由平面幾何知識可知，此時最近距輪船離圓形區域邊緣為d-r=48-47=1（公里）
故輪船離圓形區域邊緣最近距離為1公里．（14分）

點評：本題主要考查圓的幾何性質，直線與圓的位置關系等知識的實際應用，考查解析幾何的基本思想方法和綜合應用能力，創新意識．