Question

一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問
（1）若輪船以每小時24公里的速度航行，求行駛100公里的費用總和．
（2）如果甲、乙兩地相距100公里，求輪船從甲地航行到乙地的總費用的最小值，并求出此時輪船的航行速度．

Answer 1

解：（1）設輪船的速度為v，比例系數為k，（k＞0），則每小時的燃料費為kv³
因為，當v=10時，kv³=6；所以，；
設總費用為y，則（v＞0）；
當v=24時，行駛100公里的費用總和為y=745.6（元）；
（2）對y求導，得；
令y'=0，得v=20；
∴當0＜v＜20時，y'＜0，函數y單調遞減；
當v＞20時，y'＞0，函數y單調遞增；
所以，當v=20時，函數y取得極小值，即為最小值720元．
答：當輪船每小時行駛20公里時，從甲地航行到乙地的總費用最小，最小值為720元．
分析：（1）若設輪船的速度為v，比例系數為k，（k＞0），則每小時的燃料費為kv³ ，由v=10，可得；即總費用y=，（v＞0）；把v=24代入計算即可；
（2）對y求導，得；令y'=0，可得v=20；由導數的正、負可得函數y取得極小值（即最小值）時，v=20；
點評：本題考查了利用導數求函數最值的應用問題，本題的關鍵是根據題意，正確列出函數解析式，從而求得結果．