Question

（本小題滿分12分）設函數.0

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；

（Ⅱ）若對任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）單調遞增區間為（a,3a）,單調遞減區間為（－，a）和（3a，+）,極小值=

極小值=b.（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若則函數在這個區間內為單調遞增，若則函數在這個區間內為

單調遞減，若的左側右側，則是極大值，若的左側右側，則是極小值，求解即可；（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.根據不等式恒成立問題，則有，且，再根據題意確定上是減函數.求出其最大值和最小值，構造不等式組

試題解析：（Ⅰ） （1分）

令得的單調遞增區間為（a,3a）

令得的單調遞減區間為（－，a）和（3a，+） （4分）

∴當x=a時，極小值=

當x=3a時，極小值=b. （6分）

（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）

∵0<a<1，

∴a+1>2a.

∴上是減函數. （9分）

∴

于是，對任意，不等式①恒成立，等價于

又∴

考點：1、函數的單調性與導數；2、函數的極值；3、不等式恒成立問題.