Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區(qū)間的長度為，求實數(shù)a的值；
（2）已知，若A∩B構成的各區(qū)間長度和為6，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=0時，不符合題意．當a≠0時，由題意關于x的方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，滿足，利用根與系數(shù)關系進行配方，列出關于a的方程，再結合根的判別式解之，即可得到實數(shù)a的值；
（2）先解分式不等式，得不等式的解集A=（-1，6），再結合集合B的不等式組，得當x∈（0，6）時不等式組恒成立．最后討論一元一次不等式tx+3t＞0和一元二次不等式tx²+3tx-4＜0在（0，6）都恒成立，即可得到實數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（1）當a=0時，不等式為-12x-3＞0，顯然不符合合題意；--------（1分）
當a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，
則△=144+24a＞0且a＜0，得-6＜a＜0
∵，，（3分）
∴，得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．（6分）
（2）先解不等式，整理得，即（x+1）（x-6）＜0，
所以不等式的解集A=（-1，6），--------------------------------------------（8分）
又∵B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），-------------（10分），
∴不等式組的解集各區(qū)間長度和為6，所以當x∈（0，6）時恒成立．
當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0；-----------------（12分）
當x∈（0，6）時，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即恒成立，
而x∈（0，6）時，的取值范圍為，所以實數(shù)；--------（15分）
綜上所述，t的取值范圍為-------------（16分）
點評：本題給出區(qū)間長度的定義，要求我們根據(jù)這個定義討論不等式組的解集．著重考查了一元二次不等式的解法和含有參數(shù)的不等式恒成立的討論等知識，屬于中檔題．