Question

在△ABC中，已知邊c=10，又已知，求a，b及△ABC的內切圓的半徑．

Answer 1

解：根據正弦定理=，得=，又，
∴，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，又A，B為三角形的內角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，
又，∴A≠B，
∴A+B=90°，即△ABC為直角三角形，且c為斜邊，c=10，
根據題意及勾股定理列得：
，
解得：，
則△ABC的內切圓半徑．
分析：根據正弦定理表示出，與已知的等式等量代換，并利用二倍角的正弦函數公式化簡，得到sin2A=sin2B，由A和B都為三角形的內角，可得A=B或A與B互余，再根據值不為1，得到a與b不等，從而A不等于B，可得A+B=90°，即C為直角，得到三角形ABC為斜邊是c的直角三角形，根據已知的值及勾股定理列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，把a，b及c的值代入內切圓半徑公式即可求出三角形ABC內切圓的半徑．
點評：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數公式，以及勾股定理，根據正弦定理化簡已知的等式得到角A與角B的關系是本題的突破點，學生做題時注意利用已知條件舍去不合題意的解，即A=B要舍去．