Question

在△ABC中，已知邊c=10，又已知

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，求a，b及△ABC的內切圓的半徑．

Answer 1

分析：根據正弦定理表示出

b

a

，與已知的等式等量代換，并利用二倍角的正弦函數公式化簡，得到sin2A=sin2B，由A和B都為三角形的內角，可得A=B或A與B互余，再根據

b

a

值不為1，得到a與b不等，從而A不等于B，可得A+B=90°，即C為直角，得到三角形ABC為斜邊是c的直角三角形，根據已知

b

a

的值及勾股定理列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，把a，b及c的值代入內切圓半徑公式

a+b-c

2

即可求出三角形ABC內切圓的半徑．

解答：解：根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得

b

a

=

sinB

sinA

，又

cosA

cosB

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，又A，B為三角形的內角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，
又

b

a

=

4

3

，∴A≠B，
∴A+B=90°，即△ABC為直角三角形，且c為斜邊，c=10，
根據題意及勾股定理列得：

b a = 4 3 a2+b2=c2=100

，
解得：

a=6 b=8

，
則△ABC的內切圓半徑r=

a+b-c

2

=

6+8-10

2

=2．

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數公式，以及勾股定理，根據正弦定理化簡已知的等式得到角A與角B的關系是本題的突破點，學生做題時注意利用已知條件舍去不合題意的解，即A=B要舍去．