Question

已知平面上的線段1及點P，任取1上的一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段1的距離，記為d（P，l）．設A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1），L₁=AB，L₂=CD，若P（x，y）滿足d（P，L₁）=d（P，L₂），則y關于x的函數解析式為

y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．

Answer 1

分析：該題就是尋找平面內到線段AB的距離等于到線段CD的距離相等的點的軌跡，當x≤0時，x軸上的點到線段AB的距離等于到線段CD的距離，當0＜x≤2時，點P到線段AB的距離即為到點B的距離，到點B的距離等于到直線CD的距離相等的點的軌跡為拋物線，當x＞2時，滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離即為到點B與到點D的距離相等點，從而求出y關于x的函數解析式．

解答：解：根據題意畫出線段AB與線段CD，
∵P（x，y）滿足d（P，L₁）=d（P，L₂），
∴點P滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離，
當x≤0時，x軸上的點到線段AB的距離等于到線段CD的距離，故y=0（x≤0），
當0＜x≤2時，點P到線段AB的距離即為到點B的距離，到點B的距離等于到直線CD的距離相等的點的軌跡為拋物線，
根據拋物線的定義可知點B是拋物線的焦點，CD是準線，則

p

2

=1，
∴x²=4y，即y=

1

4

x²，（0＜x≤2），
當x＞2時，滿足到線段AB的距離等于到線段CD的距離即為到點B與到點D的距離相等點，
在平面內到兩定點距離相等的點即為線段BD的垂直平分線，
∴點P的軌跡為y=x-1（x＞2），
∴y關于x的函數解析式為：y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．
故答案為：y=

0 (x≤0) 1 4 x2 (0＜x≤2) x-1 (x＞2)

．

點評：本題考查了分段函數的解析式的求法及其圖象的作法，對于分段函數一般選用數形結合和分類討論的數學思想進行解題．根據不同的范圍研究不同的解析式，從而選定用分段函數來表示．屬于中檔題．