Question

若f（x）=2sin²ωx+sin（2ωx-

π

6

）（ω＞0）對任意實數x都有f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

），則f（

7π

24

）=

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：通過兩角和與差的三角函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，由f（x+π）=f（x），求出函數的周期，然后求函數f（x）的解析式，即可求值．

解答： 解：f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+1-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1-cos2ωx
=

3

sin（2ωx-

π

3

）+1…（3分）
∵f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=f（（x+

π

2

）-

π

2

）=f（x），
∴T=π，∴

2π

2ω

=π，ω=1，
∴函數的解析式為：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+1…（6分）
∴則f（

7π

24

）=

3

sin（2×

7π

24

-

π

3

）+1=

6

2

+1．
故答案為：

6

2

+1．…（9分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，函數的解析式的求法，考查計算能力，屬于中檔題．