Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點．
（1）證明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說明理由；
（3）若PC=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再結合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，進而證明結論；
（2）先假設AE∥平面PFD，借助于假設證得平面ABE∥平面PFD，與P∈平面PFD，P∈平面ABE相矛盾，即可說明結論；
（3）直接根據D，E，F分別為BC，PB，CA的中點，把所求體積進行轉化；轉化為V_P-BDF即可求出結論．
解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由條件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（2）：AE不平行于平面PFD．
反證法：假設AE∥平面PFD，
∵AB∥FD，FD?平面PFD．
∴AB∥平面PFD．
∵AE∩AB=A，
∴平面ABE∥平面PFD．
∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．
則假設不成立，
所以：AE不平行于平面PFD
（3）∵D，E，F分別為BC，PB，CA的中點．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=V_P-BDF
=××S_△BDF•PC
=××S_△ABC•PC
=××××2×2××2
=．
點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定以及棱錐體積的求法．棱錐體積的求法常用轉化思想，變為易求的幾何體的體積，考查計算能力．