Question

【題目】已知是定義在R上的奇函數，且x≥0時有．

（1）寫出函數的單調區間（不要證明）；

（2）解不等式；

（3）求函數在[﹣m，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為（-∞，-2]，[2，+∞），遞減區間為[-2，2]；（2）[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；（3）見解析

【解析】

（1）由函數的解析式結合函數的奇偶性可得的單調區間；

（2）由函數的奇偶性可得函數的解析式，則有或，解不等式即可得答案；

（3）由（1）知函數在（﹣∞，﹣2）上為增函數，在（﹣2，2）上為減函數，在（2，+∞）為增函數；對m的值進行分情況討論，求出函數的最值，即可得答案；

（1）根據題意，是定義在R上的奇函數，且x≥0時有；則的單調遞增區間為 ，[2，+∞），根據奇函數關于原點對稱，得遞減區間為[﹣2，0]；（﹣∞，﹣2]，所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，-2]，[2，+∞），遞減區間為[-2，2]；

（2）是定義在R上的奇函數，且x≥0時有，

設x＜0，則﹣x＞0，則，則，

綜合可得：，

若或，

解可得：﹣3≤x≤﹣1或，

則不等式的解集為[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；

（3）由（1）的結論，，在區間（﹣∞，﹣2）上為增函數，在（﹣2，2）上為減函數，在（2，+∞）為增函數；

對于區間[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；

故當0＜m≤2時，，，

當2＜m≤4時，，，

當m＞4時，，，