Question

（2011•桂林模擬）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過兩條棱的平面中，與直線AD₁成30°角的平面的個數是（　　）

A．8

B．6

C．4

D．2

Answer 1

分析：畫出圖形，首先分析正方體的六個面，然后分析六個對角面，利用線面角的概念找出直線AD₁與各對角面所成的角，在相應的直角三角形中求解線面角即可得到答案．

解答：解：如圖，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由正方體的性質知，AD₁與上下底面成45°角；
AD₁與前后面成45°角；AD₁在左側面內，AD₁和右側面平行；
AD₁與過A₁B₁和DC的平面垂直，AD₁在過AB與D₁C₁的平面內；
設AB₁∩A₁B=E，則AE⊥平面A₁BCD₁，連結D₁E，則∠AD₁E為AD₁與平面A₁BCD₁所成的角，
在Rt△AED₁中，由AD₁=2AE，得∠AD₁E=30°；
同理求得，AD₁與平面DBB₁D₁所成的角AD₁F=30°；
AD₁與平面ACC₁A₁所成的角D₁AH=30°；
AD₁與平面AB₁C₁D所成的角D₁AG=30°．
∴正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過兩條棱的平面中，與直線AD₁成30°角的平面是：
平面A₁BCD₁、平面DBB₁D₁、平面ACC₁A₁、平面AB₁C₁D共4個．
故選：C．

點評：本題考查了空間直線和平面所成的角，考查了學生的空間想象能力和思維能力，屬中檔題．