Question

已知數列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．
（1）設c_n=3n+6，{a_n}是公差為3的等差數列．當b₁=1時，求b_n的通項公式；
（2）設cn=n3，設an=n2-8n．求正整數k，使得對一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

分析：（1）先確定b_n+1-b_n=n+2，由累加法及b₁=1可得bn=

n2+3n-2

2

(n∈N*)
（2）確定bn+1-bn=

n3

2n-7

，由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…，由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄，由此可得結論．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=3，(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
∴b_n+1-b_n=n+2．
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=1+（1+2）+…+（n-1+2）=

n2+3n-2

2

(n∈N*)
（2）∵an=n2-8n，∴a_n+1-a_n=2n-7，
∵cn=n3，(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
∴bn+1-bn=

n3

2n-7

．
由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄
故k=4，使得對一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的求和，考查恒成立問題，確定數列通項是解題的關鍵．