Question

已知雙曲線x²-my²=1（m＞0）的右頂點為A，而B、C是雙曲線右支上兩點，若三角形ABC為等邊三角形，則m的取值范圍是

（3，+∝）

．

Answer 1

分析：先根據雙曲線的對稱性求出A點坐標，判斷直線BC垂直于x軸，設出直線AB的方程，與雙曲線方程聯立，因為B，C點存在，所以方程有大于1的解，再利用判別式和對稱軸即可求出m的范圍．

解答：解：由雙曲線的方程知A（1，0），
根據雙曲線的對稱性，若三角形ABC為等邊三角形，則BC垂直于x軸，∴AB的傾斜角為30°
設直線AB方程為y=

3

3

（x-1），代入雙曲線方程，化簡，得，
（m-3）x²-2mx+m+3=0
∵滿足條件的點B，存在，
∴方程（m-3）x²-2mx+m+3=0有兩解，一個等于1，一個屬于（1，+∞）．
∴

m-3≠0 △=(2m)2-4(m-3)(m+3)＞0  - -2m 2(m-3) ＞1

，
解得，m＞3
∴m的范圍是（3，+∞）
故答案為（3，+∞）

點評：本題主要考查了雙曲線的應用．涉及了不等式，函數等問題．綜合性強．