Question

（2012•海淀區二模）如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=

π

3

，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求證：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）設二面角M-BP-C的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）求出S_△PBC、S_△PMB，利用面積比，即可求出二面角M-BP-C的大小．

解答：（Ⅰ）證明：因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA      
因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，所以OE∥平面PAC．
因為OM∥AC，因為AC?平面PAC，OM?平面PAC，所以OM∥平面PAC．
因為OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，
因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以BC⊥AC
因為PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
因為BC?平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）解：∵∠CBA=

π

3

，PA=AB=2，∴BC=1，AC=

3

，PC=

7

，
∵BC⊥PC，∴S_△PBC=

1

2

×1×

7

=

7

2

由AM²=1+1-2×1×1×cos30°=2-

3

，∴PM²=6-

3

，∴BM²=2+

3

，
∴S_△PMB=

1

2

9+4 3

∵二面角M-BP-C的大小為θ，
∴利用面積射影定理可得cosθ=

7 2

1 2 9+4 3

=

7

9+4 3

．

點評：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面平行、面面垂直的判定方法，屬于中檔題．