Question

已知|

a

|=3，|

b

|=4
求（1）|

a

-

b

|的范圍；
（2）若|2

a

-

b

|=12，求|

a

-

b

|的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

•

b

=12cosθ，由-12≤

a

•

b

≤12，求得|

a

-

b

|2的范圍，即可得到|

a

-

b

|的范圍．
（2）把|2

a

-

b

|=12，平方可得

a

•

b

=-23，由此求得(

a

-

b

)2的值，即可得到|

a

-

b

|的值．

解答：解：（1）由題意可得

a

•

b

=3×4×cosθ=12cosθ，其中θ是

a

與

b

的夾角，0≤θ≤π．
∴-12≤

a

•

b

≤12．
由于|

a

-

b

|2=

a

2+

b

2-2

a

•

b

=25-24cosθ，∴1≤|

a

-

b

|2≤49，∴1≤|

a

-

b

|≤7，
即|

a

-

b

|的范圍為[1，7]．
（2）∵|2

a

-

b

|=12，∴平方可得 4a²-4

a

•

b

+

b

2=144，∴

a

•

b

=-23．
∴(

a

-

b

)2=a²-2

a

•

b

+

b

2=9+46+16=71，
故|

a

-

b

|=

71

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．