Question

數列{a_n}滿足a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），求S₁，S₂，猜想S_n，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用數列{a_n}滿足的遞推關系a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），可求得S₁，S₂，從而可猜想S_n，利用數學歸納法證明即可．

解答： 解：∵a_n＞0，∴S_n＞0，由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），變形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）及a₂=S₂-S₁=S₂-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
變形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

．同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．
用數學歸納法證明如下：
（1）當n=1時，上面已求出S₁=1，結論成立．
（2）假設當n=k時，結論成立，即S_k=

k

．
那么，當n=k+1時，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

），
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故當n=k+1時，結論成立．
由（1）、（2）可知，對一切n∈N^*，S_n=

n

成立．

點評：本題考查數列的遞推關系的應用，著重考查數學歸納法的應用，猜想S_n=

n

是關鍵，考查計算、猜想及推理論證的能力，屬于中檔題．