Question

已知函數f(x)=+aln(x-1),其中n∈N^*,a為常數.

(1)當n=2時,求函數f(x)的極值;

(2)當a=1時,證明:對任意的正整數n,當x≥2時,有f(x)≤x-1.

Answer 1

（1）當a＞0時,f(x)在x=1+處取得極小值,極小值為f（1+）=（1+ln）.

當a≤0時,f(x)無極值.

（2）證明見解析

解析:

(1)  由已知得函數f(x)的定義域為{x|x＞1},

當n=2時,f(x)=+aln(x-1),

所以f′(x)=.

①當a＞0時,由f′(x)=0,得

x₁=1+＞1,x₂=1-＜1,

此時f′(x)=.

當x∈(1,x₁)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;

當x∈(x₁,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增.

②當a≤0時,f′(x)＜0恒成立,所以f(x)無極值.

綜上所述,n=2時,

當a＞0時,f(x)在x=1+處取得極小值,極小值為f（1+）=（1+ln）.

當a≤0時,f(x)無極值.

(2)  方法一  因為a=1,

所以f(x)=+ln(x-1).

當n為偶數時,

令g(x)=x-1--ln(x-1),

則g′(x)=1+-

=+＞0 (x≥2).

所以,當x∈［2,+∞)時,g(x)單調遞增,又g(2)=0,

因此,g(x)=x-1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,

所以f(x)≤x-1成立.

當n為奇數時,要證f(x)≤x-1,由于＜0,

所以只需證ln(x-1)≤x-1,

令h(x)=x-1-ln(x-1),

則h′(x)=1-=≥0(x≥2),

所以,當x∈［2,+∞)時,h(x)=x-1-ln(x-1)單調遞增,

又h(2)=1＞0,所以當x≥2時,恒有h(x)＞0,

即ln(x-1)＜x-1命題成立.

綜上所述,結論成立.

方法二  當a=1時,f(x)= +ln(x-1).

當x≥2時,對任意的正整數n,恒有≤1,

故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.

令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))

=x-2-ln(x-1),x∈［2,+∞).

則h′(x)=1-=,

當x≥2時,h′(x)≥0,故h(x)在［2,+∞)上單調遞增,

因此,當x≥2時,h(x)≥h(2)=0,

即1+ln(x-1)≤x-1成立.

故當x≥2時,有+ln(x-1)≤x-1.

即f(x)≤x-1.