Question

選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，取原點(diǎn)為極點(diǎn)x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=2cosθ，直線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）
（I ）求曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程，曲線(xiàn)C₂的普通方程．
（II）先將曲線(xiàn)C₁上所有的點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得到曲線(xiàn)C₃，P為曲線(xiàn)C₃上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)C₂的距離的最小值，并求出相應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I） 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得C₁為直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t得曲線(xiàn)C₂的普通方程
（II）曲線(xiàn)C₃上的方程為=1，設(shè)點(diǎn)P（，sinθ），點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為d==，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．
解答：解：（I ）C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=2cosθ，即：ρ²=2ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，即為（x-1）²+y²=1
直線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），
消去t得普通方程為x-y+4=0
（II）曲線(xiàn)C₃上的方程為=1
設(shè)點(diǎn)P（，sinθ），點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為d==
由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)=π是，d取得最小值，此時(shí)，
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化及參數(shù)方程與普通方程的互化，能在直角坐標(biāo)系中利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值，屬于基礎(chǔ)題．