Question

已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（   ）．

A．        B．          C．      D．

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】

試題分析：根據雙曲線的對稱性，

得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|=，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a²+ac-c²＞0，兩邊都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，∵雙曲線的離心率e＞1，∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2），故選B

考點：本題考查了雙曲線離心率的求法

點評：雙曲線過一個焦點的通徑與另一個頂點構成銳角三角形，求雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題