Question

(本小題滿分14分)

某工廠生產一種產品的成本費共由三部分組成：①原材料費每件50元；②職工工資支出元；③電力與機器保養等費用為元.其中是該廠生產這種產品的總件數。

（1）把每件產品的成本費(元)表示成產品件數的函數，并求每件產品的最低成本費；

（2）如果該廠生產的這種產品的數量不超過170件且能全部銷售，根據市場調查，每件產品的銷售價為（元），且，試問生產多少件產品，總利潤最高？并求出最高總利潤。（總利潤=總銷售額-總的成本）

 

Answer 1

【答案】

（1），，每件產品的最低成本費為220元。

（2）生產100件產品時，總利潤最高，且最高利潤為元。

【解析】本試題主要是考查了函數在實際生活中的運用。函數數學模型的理解和解決問題的能力的培養。

（1）因為每件產品的成本費(元)表示成產品件數的函數，然后利用均值不等式的思想求解最值。

（2）利潤等于收入減去成本，那么設總利潤元，則

然后借助于導數的思想得到最值。

（1），……………3分

由基本不等式得： ……………………………………………5分

當且僅當，即時等號成立，

所以，，每件產品的最低成本費為220元。…………………6分

（2）設總利潤元，則

 

 ……………………………………9分

所以

=    ………………………11分

當時，，當時，，

所以在[1,100]上是增函數，在[100,170]上是減函數， ………………………………12分

所以當時，函數取得最大值，

所以生產100件產品時，總利潤最高，且最高利潤為元。………………………14分