Question

10、函數f（x）的定義域為R，對任意實數x滿足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），當1≤x≤2時，f（x）=x²，則f（x）的單調減區間是（　　）

A、[2k，2k+1]（k∈Z）

B、[2k-1，2k]（k∈Z）

C、[2k，2k+2]（k∈Z）

D、[2k-2，2k]（k∈Z）

Answer 1

分析：根據對任意實數x滿足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），可以得出函數的奇偶性和周期性，再根據當1≤x≤2時，f（x）=x²可得函數的單調性，故可求得R上函數的單調減區間．

解答：解：∵對任意實數x滿足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），
∴f（3-x）=f（x-3），
∴函數f（x）是偶函數，x=1是一條對稱軸，周期函數，周期為2．
又∵1≤x≤2時，f（x）=x²
∴函數f（x）在區間[1，2]上單調遞增．
∴函數f（x）在區間[0，1]上單調遞減．
∴f（x）的單調減區間是[2k，2k+1]（k∈Z）．
故選B．

點評：考查函數的單調性，對稱性和周期性，屬中檔題．