Question

已知兩平面α，β相交于直線a，直線b在β內與直線a相交于A點，直線c在平面α內與直線a平行，請用反證法論證b,c為異面直線.

Answer 1

解析:

這題規定用反證法，提出與結論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論.

證：用反證法.

假設b,c共面，則b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵  c∥a,  ∴  a∥b這與b∩a＝A的已知條件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵  bβ，∴  P∈β.

又∵  cα，∴  P∈α.  ∴  P∈α∩β而α∩β＝a.

∴  P∈a，這樣c,a有了公共點P，這與a∥c的已知條件矛盾.

綜上所述，假設不成立，所以b、c為異面直線.

說明  本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線的判定定理來證明.