Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，．
（Ⅰ）若向量∥求滿足的角B的值；
（Ⅱ）若，試用角B表示角A與C；
（Ⅲ）若，且，求cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給的向量的坐標和向量的平行關系，寫出三條邊的關系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范圍，根據求角B的值．
（Ⅱ）根據角A與角B的差是，還有兩角之和是π-B，得到角A和角B的關系，即得到關于他們的二元一次方程，解方程組得到結果．本題只起到一個鋪墊作用．
（Ⅲ）根據兩個向量的數量積的值，得到邊之間的關系，a+c=2b，利用正弦定理把變化為角和第二問所得的結論，展開整理，得到關于角B的三角函數值．
解答：解：（Ⅰ）∵，，，
∴b²=ac，
∴，
當且僅當a=c時取等號，
∵0＜B＜π，∴．
由
得：，
∵，
∴．
（Ⅱ）在△ABC中，∵
（Ⅲ）∵，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由及（Ⅱ）的結論得：
∴，
展開化簡，得，
∵，
∴．
點評：本題考查平面向量數量積的運算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函數關系，是一個綜合題，也是近幾年經常出現的一種問題．