Question

如圖，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：四點(diǎn)B、C、G、F共面；
（Ⅱ）求二面角D-BC-F的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M是DG的中點(diǎn)，證明BF∥AM，AM∥CG，由此能得到四點(diǎn)B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE為x軸，以DG為y軸，以DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BC-F的大小．
解答：（Ⅰ）證明：取DG的中點(diǎn)M，連接AM，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴BF∥AM，AM∥CG，
∴BF∥CG，
∴四點(diǎn)B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE為x軸，以DG為y軸，以DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），
∴，，，，
設(shè)平面DBC的法向量，則，，
∴，解得=（1，2，-1），
設(shè)平面FBC的法向量，則，，
∴，解得=（1，2，1），
設(shè)二面角D-BC-F的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜，＞|=||=．
∴二面角D-BC-F的大小為arccos．
點(diǎn)評：本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查二面角的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)和向量法的合理運(yùn)用．