Question

如圖，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：四點B、C、G、F共面；
（Ⅱ）求二面角D-BC-F的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M是DG的中點，證明BF∥AM，AM∥CG，由此能得到四點B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE為x軸，以DG為y軸，以DA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-BC-F的大小．

解答：（Ⅰ）證明：取DG的中點M，連接AM，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴BF∥AM，AM∥CG，
∴BF∥CG，
∴四點B、C、G、F共面．
（Ⅱ）以DE為x軸，以DG為y軸，以DA為z軸，建立空間直角坐標系，
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，
AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1
∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），
∴

DB

=(2，0，2)，

DC

=(0，1，2)，

FB

=(0，-1，2)，

FC

=(-2，0，2)，
設平面DBC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，則

DB

•

m

=0，

DC

•

m

=0，
∴

2x1+2z1=0 y1+2z1=0

，解得

m

=（1，2，-1），
設平面FBC的法向量

n

=(x2，y2，z2)，則

FB

•

n

=0，

FC

•

n

=0，
∴

-y2+2z2=0 -2x2+2z2=0

，解得

n

=（1，2，1），
設二面角D-BC-F的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+4-1

6 × 6

|=

2

3

．
∴二面角D-BC-F的大小為arccos

2

3

．

點評：本題考查四點共面的證明，考查二面角的求法．解題時要認真審題，注意平面的基本性質和向量法的合理運用．