Question

已知f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，
（1）求f（1）f（2）f（3）的值：
（2）是否存在不小于2的正整數m，使得對于任意的正整數n，f（n）都能被m整除？如果存在，求出最大的m值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，
所以f（1）=（2×1+7）×3¹+9=36；
f（2）=（2×2+7）×3²+9=3×36=108；
f（3）=（2×3+7）×3³+9=10×36=360；
（2）由（1）可以猜想最大m=36，
下面用數學歸納法證明，
①當n=1時，f（1）=36，顯然能被36整除；
②假設n=k時f（k）能被36整除，即（2k+7）•3^k+9能被36整除，
那么，當n=k+1時，
[2（k+1）+7]•3^k+1+9
=[（2k+7）+2]•3^k•3+9
=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k+1-1）．
由假設可知（2k+7）•3^k+9，能被36整除，
3^k+1-1是偶數，∴18（3^k+1-1）．也能被36整除，
由①②可知對任意n∈N^*都成立．
所以最大的m值為36．