Question

設函數f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根據f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函數．由題中的不等式可得F（x）在區間（-∞，0）上是增函數，結合奇函數性質得在區間（0，+∞）上F（x）也是增函數．最后分x＞0和x＜0加以討論，并結合F（1）=F（-1）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答：解：令F（x）=f（x）g（x），可得
∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，
∴F（x）=f（x）g（x）是定義在R上的奇函數．
又∵當x＜0時F'（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在區間（-∞，0）上是增函數，可得它在區間（0，+∞）上也是增函數．
∵g（1）=0可得F（1）=0，∴結合F（x）是奇函數可得F（-1）=0，
當x＞0時，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（1），結合單調性得0＜x＜1；
當x＜0時，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（-1），結合單調性得x＜-1．
因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故選：B

點評：本題給出函數F（x）=f（x）g（x）的奇偶性和單調性，求不等式f（x）g（x）＜0的解集．著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數的單調性與奇偶性的關系等知識點，屬于基礎題．