Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，點M在線段PD上.

（1）求證：平面PAC；

（2）若二面角M-AC-D的大小為，試確定點M的位置.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點為線段的中點.

【解析】

試題分析：（1）要證平面，只要證：,由題設平面

得，結合條件，可證平面，從而有，結論可證.

（2）以為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示

寫出相關點的坐標，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出點的坐標，從而確定點M的位置.

解證：（1）因為平面， 平面

所以 , 2分

又因為，，平面，,

所以平面 3分

又因為平面，平面，

所以 4分

因為，，平面，,

所以 平面 6分

（2）因為⊥平面，又由（1）知，

建立如圖所示的空間直角坐標系 .則,,，,,

設，,則 ，

故點坐標為, 8分

設平面的法向量為，則 9分

所以

令，則. 10分

又平面的法向量

所以, 解得

故點為線段的中點. 12分

考點：1、直線與平面垂直的判定與性質；2、空間直角坐標系；3、空間向量的夾角公式及應用.