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已知橢圓數學公式的面積為πab，設平面區域數學公式．
（Ⅰ）求平面區域M的面積；
（Ⅱ）若動直線x=t被平面區域M截得的線段長為d，試用t表示d并求出d的最大值．

解：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的再減去△OAB的面積，---（3分）
由題中的條件可得：橢圓面積的為，三角形OAB的面積為1，
所以陰影部分的面積為；---（6分）
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長，---（10分）
設，
則有
根據三角函數的性質可得：當時，．---（14分）
分析：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的再減去△OAB的面積，結合題中的條件計算出各部分的面積進而達到答案．
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長，再利用三角換元的有關知識與三角函數的有關性質求出最大值即可．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角換元與三角函數的有關性質，以及橢圓的標準方程與性質，此題屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（a＞b＞0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求證：
1
|OA|2
+
1
|OB|2
為定值；
（2）求△AOB面積的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△OAP的面積為S，
OA
•
AP
=1．設|
OA
|=c(c≥2)，S=
3
4
c，并且以O為中心、A為焦點的橢圓經過點P．當|
OP
|取得最小值時，則此橢圓的方程為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽）如圖，F1、F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面積為40
3
，求a，b 的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的面積為，若全集，

   集合，則所表示的圖形的面積為（    ）．

         A．              B．      C．       D．

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科目：高中數學 來源：2015屆福建晉江季延中學高二上學期期中考試文數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°

(1)求橢圓C的離心率；

(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值

 

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同步練習冊答案
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