Question

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線(xiàn)切于點(diǎn).圓： ．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．過(guò)點(diǎn)任作一條傾斜角不為0的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）切點(diǎn)在直線(xiàn)上，故，從而求出過(guò)切點(diǎn)且垂直切線(xiàn)的直線(xiàn)，它與軸的交點(diǎn)就是圓心，半徑是，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）先求出，若，則,即，用韋達(dá)定理把該方程轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立用韋達(dá)定理把所得方程化簡(jiǎn)為，從而得到.

解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線(xiàn)上，知： ，則，又， ，則 ，故，所以，即半徑. 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2） 假設(shè)這樣的存在，在圓中，令，得： ，解得： ，又由知，所以： .由題可知直線(xiàn)的傾斜角不為0，設(shè)直線(xiàn)： ， ， ，消元得.∵點(diǎn)在圓內(nèi)部，∴有恒成立，又 .因?yàn)?/span>，所以,即，也即是，整理得，從而，化簡(jiǎn)有，因?yàn)閷?duì)任意的都要成立，所以，由此可得假設(shè)成立，存在滿(mǎn)足條件的，且.