Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b，a＞0)的右焦點F₂向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若

QF2

=2

PF2

，則雙曲線的離心率為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

Answer 1

分析：利用相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系可得直線PF₂的斜率，即可得到直線方程，直線方程分別與漸近線方程聯(lián)立即可得出點P，Q的坐標(biāo)，再利用向量共線即可得出a，b，c的關(guān)系，利用離心率計算公式即可．

解答：解：如圖所示，
∵PF₂⊥OP，∴PF₂的斜率為-

a

b

．
∴直線PF₂的直線方程為y=-

a

b

(x-c)．
聯(lián)立

y=- a b (x-c) y= b a x

解得

x= a2 c y= ab c

．∴P(

a2

c

，

ab

c

)．
聯(lián)立

y=- a b (x-c) y=- b a x

，解得

x= a2c a2-b2 y= abc b2-a2

．
∴Q(

a2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

)．
∴

QF2

=(

-b2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

)，

PF2

=(

b2

c

，

ab

c

)．
∵

QF2

=2

PF2

，∴c²=4a²．
∴e=

c

a

=2．
故選A．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線相交問題、向量的運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．