Question

（2012•海淀區二模）點P（x，y）是曲線C：y=

1

x

（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標原點．給出三個命題：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周長有最小值4+2

2

；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先利用導數求出過點P的切線方程：①由切線方程可求得點A、B的坐標，進而利用兩點間的距離公式即可證明；②先利用兩點間的距離公式求出△OAB的周長，再利用基本不等式的性質即可證明；③先假設滿足條件的點M、N存在，利用等腰三角形的性質只要解出即證明存在，否則不存在．

解答：解：設動點P(m，

1

m

)（m＞0），則y′=-

1

x2

，∴f′(m)=-

1

m2

，
∴過動點P(m，

1

m

)的切線方程為：y-

1

m

=-

1

m2

(x-m)．
①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，

2

m

)．
則|PA|=

m2+ 1 m2

，|PB|=

m2+ 1 m2

，∴|PA|=|PB|，故①正確；
②由上面可知：△OAB的周長=2m+

2

m

+2

m2+ 1 m2

≥2×2

m× 1 m

+2

2 m2× 1 m2

=4+2

2

，當且僅當m=

1

m

，即m=1時取等號．
故△OAB的周長有最小值4+2

2

，即②正確．
③假設曲線C上存在兩點M(a，

1

a

)，N(b，

1

b

)，不妨設0＜a＜b，∠OMN=90°．
則|ON|=

2

|OM|，

OM

⊥

MN

，
所以

b2+ 1 b2 = 2 a2+ 1 a2 a(b-a)+ 1 a ( 1 b - 1 a )=0

化為

b2+ 1 b2 =2(a2+ 1 a2 ) a3b=1

解得

a= 4 3- 5 2 b= 1 a3

，故假設成立．
因此③正確．
故選D

點評：理解導數的幾何意義、基本不等式的性質、兩點間的距離公式及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．