Question

（理） 已知，其中是自然常數，[

（1）討論時, 的單調性、極值；

（2）求證：在（Ⅰ）的條件下，;

（3）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，f(x)單調遞減；當，f(x)單調遞增 ；極小值為f(1)=1  ；

（2）  ；（3）    .

【解析】第一問中利用導數，然后對x討論，因為x>0，那么分為兩段討論得到函數的單調性，和極值。

           

解：（Ⅰ） ……1分

∴當時，，此時f(x)單調遞減

當時，，此時f(x)單調遞增    ……3分

∴f(x)的極小值為f(1)=1                         ……4分

（Ⅱ） f(x)的極小值為1，即f(x)在(0,e】上的最小值為1，

∴，                   ……5分

令 ……6分

當時，，在(0,e】上單調遞增  ……7分

∴ 

∴在（1）的條件下，           ……9分

（Ⅲ）假設存在實數a，使（）有最小值3，

                      ……10分

①    當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.             ……12分

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，滿足條件.  ……13分

③ 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.

…………………………………………………………………………………………………….14分