Question

已知：直線x+y=1交橢圓mx²+ny²=1于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）
（1）求證：橢圓過定點；
（2）若橢圓的離心率在上變化時，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：，由此能夠推導出橢圓恒過定點．
（2）設橢圓的焦點在x軸上，由，知，所以．由n=2-m，得，得，由此能求出橢圓長軸的取值范圍．
解答：解：（1）證明：由…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得，即．
∴橢圓恒過定點，，，．
（2）設橢圓的焦點在x軸上，
∵，∴，∴．
由（1）得n=2-m，代入上式，得，得，
∴，
∴橢圓長軸的取值范圍是[]．
點評：本題考查橢圓過定點的證明和求橢圓長軸的取值范圍．解題時要認真審題，注意橢圓性質的靈活運用．