Question

求曲線x²-6xcosθ-4y+9cos²θ+8sinθ=0（θ為參數）的焦點軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得（x-3cosθ）²=4（y-2sinθ），焦點的參數方程為：x=3cosθ，y=1+2sinθ（θ為參數），由此能求出焦點的軌跡是橢圓

x2

9

+

(y-1)2

4

=1．

解答： 解：∵x²-6xcosθ-4y+9cos²θ+8sinθ=0（θ為參數），
∴（x-3cosθ）²=4（y-2sinθ），
曲線是一條拋物線，焦參數p=2，頂點坐標為（3cosθ，2sinθ），
對稱軸平行于y軸，開口向y軸正方向，
焦點的參數方程為：x=3cosθ，y=1+2sinθ（θ為參數）．
變形：

x

3

=cosθ，

y-1

2

=sinθ，
平方相加：

x2

9

+

(y-1)2

4

=1，
所以焦點的軌跡是橢圓

x2

9

+

(y-1)2

4

=1．

點評：本題考查曲線的焦點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓錐曲線性質的合理運用．