Question

已知分別以d₁和d₂為公差的等差數列和滿足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整數m，使得a_m²=b_m+14-45，求證：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且數列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n項和S_n滿足S₁₄=2S_k，求數列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等差數列的通項公式分別表示出a_m和b_m+14，代入a_m²=b_m+14-45，求得，根據均值不等式求得d₂的范圍，原式得證．
（2）根據S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，再根據等差數列的求和公式，進而求得d₁和d₂，根據等差數列的通項公式進而求得a_n和b_n的通項公式．
解答：解：（1）依題意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即；
等號成立的條件為，即，∵m∈N^*，
∴等號不成立，∴原命題成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，
即：，
則9k=18×（15-k），得k=10
，，
則a_n=-2n+20，b_n=9n-90．
點評：本題主要考查了等差數列的性質．屬基礎題．