Question

已知分別以d₁和d₂為公差的等差數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=18，b₁₄=36，
（1）若d₁=18，d₂≥2917，且a_m²=b_m+14-45，求m的取值范圍；
（2）若a_k=b_k=0，且數列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+1，…，b₁₄…的前n項和S_n滿足S₁₄=2S_k，
①求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
②令，，a＞0且a≠1，探究不等式A_nB_n+1＜A_n+B_n是否對一切正整數n恒成立？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為等差數列{a_n}中，a₁=18，d₁=18，所以a_m=a₁+（m-1）d₁=18m，因為等差數列{b_n}中，b₁₄=36，d₂≥2917，所以b_m+14=b₁₄+md₂=36+md₂，由a_m²=b_m+14-45，能求出m的取值范圍
（2）①因為a_k=b_k=0，所以S₁₄=2S_k，即b_k+b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，所以，解得k=10，由此能求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
②因為a_n=20-n，b_n=9n-90，所以，又A_nB_n+1＜A_n+B_n等價于（A_n-1）（B_n-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此進行分類討論能求出當a＞0且a≠1時，對任意n∈N*，所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．
解答：解：（1）因為等差數列{a_n}中，a₁=18，d₁=18，
所以a_m=a₁+（m-1）d₁=18m，
因為等差數列{b_n}中，b₁₄=36，d₂≥2917，
所以b_m+14=b₁₄+md₂=36+md₂，（2分）
又因為a_m²=b_m+14-45，
所以（18m）²=md₂-9，
故有，
因為m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因為a_k=b_k=0，
所以S₁₄=2S_k，
即b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，
亦即b_k+b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，
所以有，
解得k=10，（6分）
由a_k=a₁+（k-1）d₁，b_k=b₁₄+（k-14）d₂知，d₁=-2，d₂=9，（8分）
所以a_n=20-2n，
b_n=9n-90；  （10分）
②因為a_n=20-n，b_n=9n-90，
所以，
又A_nB_n+1＜A_n+B_n等價于（A_n-1）（B_n-1）≤0，且a＞0且a≠1，
當a＞1時，若n=10時，（A_n-1）（B_n-1）=（a-1）（a-1）=0，
若n＜10時，a^10-n＞1，a^n-10＜1，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立，
若n＞10時，a^10-n＜1，a^n-10＞1，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立，
所以當a＞1時，對任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立． （14分）
同理可證，當0＜a＜1時，對任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．
即當a＞0且a≠1時，對任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．（16分）
點評：本題考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．