Question

已知直線（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（7分）
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．（8分）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由直線（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）過定點，可得x-y-3+k（x-3）=0，即，解得定點F；設橢圓C的方程，則，解得a、b，即得橢圓C的方程．
（Ⅱ）點P（m，n）在橢圓C上，則，從而得圓心O到直線l的距離，即直線l與圓O相交；直線l被圓O截得的弦長為，
可得L的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
則由，解得定點F（3，0）；
設橢圓C的方程為，則，解得；
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以，從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離，所以直線l與圓O恒相交；
又直線l被圓O截得的弦長為=，
由于0≤m²≤25，所以，則，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是．
點評：本題考查了直線與橢圓，直線與圓的綜合應用問題，也考查了直線過定點的問題；解題時要認真分析，靈活運用所學的知識，細心解答．