Question

(本題滿分12分) 直角三角形的直角頂點為動點，，為兩個定點，作于，動點滿足，當點運動時，設點的軌跡為曲線，曲線與軸正半軸的交點為．(Ⅰ) 求曲線的方程；(Ⅱ) 是否存在方向向量為m的直線，與曲線交于，兩點，使，且與的夾角為？若存在，求出所有滿足條件的直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)

(Ⅰ)由題意知，點在以為直徑的圓上，且除去兩點．
即點坐標滿足方程：．
設點，，則，　　①
由知，即．代入①式
得　，即，曲線的方程為．（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，點，為坐標原點，假設直線存在，由題知為正三角形，
設，，線段中點為，則，且，（6分）
，作差得，，
直線，又直線，點坐標．
坐標為，，又，
．　　②   …（8分）
點到直線的距離，③
又由得，由②式得，
，，
．　④…（10分）
，由②③④得：，此時直線與橢圓交點有或，與曲線中矛盾，舍去．不存在符合題中要求的直線．……………（12分）