Question

（本小題滿分12分）設上的兩點，已知，，若且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）;（Ⅲ）是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）短軸長為，即可求出橢圓方程；（Ⅱ）假設存在的直線，聯立直線方程與橢圓方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理求出再根據，即可解出；（Ⅲ）（1）當直線AB斜率不存在，（2）.當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b，聯立直線方程與橢圓方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理求出利用弦長公式求出，利用點到直線距離公式求出高，則 所以三角形的面積為定值.

試題解析：（Ⅰ） 橢圓的方程為

（Ⅱ）由題意，設AB的方程為

由已知得：

（Ⅲ）（1）當直線AB斜率不存在時，即,由得又 在橢圓上，所以

所以三角形的面積為定值

（2）當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值.

考點：1、求橢圓方程；2、直線與橢圓的相交問題；3、弦長公式.