Question

已知函數.
（1）求的單調區間；
（2）當時，若方程有兩個不同的實根和，
（ⅰ）求實數的取值范圍；
（ⅱ）求證：.

Answer 1

（1）時，在遞增；  時，在遞增；遞減   時，在遞減；遞增  
（2 的取值范圍是      （ⅱ）  

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。借助于導數的符號與函數的單調性的關系來確定單調區間，以及運用函數與方程的思想來分析方程根的問題的綜合運用。
（1）首先先求解定義域，然后求解導數，令導數大于零或者導數小于零，得到單調區間。需要對于參數a分類討論。
（2）當a=1，若方程有兩個不同的實根，則可以分析函數y=f(x)的圖像的變化情況，確定參數k的取值范圍。同時借助于單調性證明不等式
（1）
時，在遞增； 又時
時，在遞增；遞減
時，在遞減；遞增    5分
（2）（ⅰ）由（1）知在遞增；遞減 ∴  6分
又，而    ∴
所以的取值范圍是                                                 8分
（ⅱ）由（ⅰ）不妨設，則
∵在遞減，∴要證. 即證.
即證，即證
令，
則
∴在遞增  ∴，即，即， ∴