Question

已知函數f(x)=ax+

1

x3

，其中a∈R．
（I）求證：函數f（x）為奇函數；
（II）若a=3，求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數的定義，即可得到結論；
（II）求導函數，利用導數的正負，確定函數的單調性，從而可求函數f（x）的極值．

解答：解：（I）函數f(x)=ax+

1

x3

的定義域為{x|x∈R且x≠0}．（1分）
因為f(-x)=-ax-

1

x3

=-f(x)，
所以函數f(x)=ax+

1

x3

為奇函數，（5分）
（II）因為f(x)=3x+

1

x3

，
所以f′(x)=3-

3

x4

=

3(x4-1)

x4

．（8分）
令f′（x）=0，解得x=±1．（9分）
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）		極大值			極小值

（11分）
所以當x=-1時，f（x）有極大值f（-1）=-4，當x=1時，f（x）有極小值f（1）=4．（13分）

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的單調性與極值，考查導數知識的運用，屬于中檔題．